Решите неравенство (x + 1)(x - 3) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Оставим неравенство в разложенном виде. Произведение двух множителей положительно, когда оба они одного знака, и отрицательно — когда знаки разные. Если раскрыть скобки и перейти к $x^2-2x-3$, то как раз потеряется информация о знаках множителей, которая здесь и нужна.

2. 2

   Найдём нули каждого множителя.

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   Произведение может менять знак только в этих точках, поэтому они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$ и $(3,\infty)$.

3. 3

   Проверим знак произведения на каждом интервале. Подставим $x=-2$: $(-1)(-5)=5>0$ (оба множителя отрицательны). Подставим $x=0$: $(1)(-3)=-3<0$ (знаки разные). Подставим $x=4$: $(5)(1)=5>0$ (оба положительны). Получается чередование: плюс, минус, плюс.

4. 4

   Проверим закономерность по графику. Если раскрыть скобки, старший коэффициент равен $+1$, значит, парабола направлена вверх: она проходит ниже оси между корнями и выше — вне их. Это совпадает с найденным чередованием знаков, что служит независимой проверкой.

5. 5

   Выбираем подходящие интервалы и исключаем корни. Неравенство строгое, поэтому точки, где произведение обращается в $0$, не входят в ответ:

   $x<-1\qquad\text{или}\qquad x>3,\qquad(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   Проверим ответ перебором. Если вычислить значение произведения в 2001 точке от $-10$ до $10$ и сравнить с найденным решением, совпадение будет полным ✓.