Найдите x, если сумма десяти степеней (1 + x) с показателями от 27 до 36 равна 20.

Step-by-step solution

1. 1

   Делаем замену $y=1+x$ и выносим наименьшую степень. Десять показателей идут подряд, поэтому

   $y^{27}\bigl(1+y+y^2+\cdots+y^{9}\bigr)=20$

   Это ключевой ход: без него перед нами многочлен 36-й степени, а с ним — геометрическая прогрессия.

2. 2

   Сворачиваем скобку по формуле суммы геометрической прогрессии. При $y\ne 1$

   $1+y+\cdots+y^{9}=\frac{y^{10}-1}{y-1}\quad\Longrightarrow\quad y^{27}\cdot\frac{y^{10}-1}{y-1}=20$

   Рациональных корней здесь не остаётся — при $y=1$ выходит $10$, при $y=2$ больше $10^{10}$, — значит корни придётся искать численно.

3. 3

   Отделяем положительный корень по смене знака. Обозначим $S(y)=y^{27}+\cdots+y^{36}$. Тогда $S(1)=10<20$ и

   $S(1.05)=1.05^{27}\cdot\frac{1.05^{10}-1}{0.05}=46.959>20$

   значит корень лежит в $(1,1.05)$. Деление отрезка пополам до семи знаков даёт $y=1.0221841$, то есть $x=0.0221841$, причём $S(1.0221841)=19.99997$.

4. 4

   Находим второй действительный корень, выписав знаки явно. При $y=-u$ с $u>0$ чередующиеся знаки перегруппируются в точности так:

   $S(-u)=u^{27}(u-1)\bigl(1+u^2+u^4+u^6+u^8\bigr)$

   Это выражение отрицательно при $0<u<1$, равно нулю при $u=1$ (что согласуется с $S(-1)=0$) и строго возрастает при $u>1$, поэтому значения $20$ оно достигает ровно один раз. Деление пополам даёт $u=1.1184421$, где разложенное выражение равно $19.99998$; отсюда $y=-1.1184421$ и $x=-2.1184421$.

5. 5

   Обосновываем, что других действительных корней нет. При $y>0$ каждое слагаемое $y^k$ возрастает, поэтому $S$ строго растёт от $0$ до $\infty$ и пересекает уровень $20$ единожды. При $y<0$ выписанное выше разложение монотонно после $u=1$ и при $u\le 1$ до $20$ не доходит. Итого два действительных корня; остальные $34$ корня многочлена 36-й степени комплексные.

6. 6

   Записываем ответ через $x$. Обращая замену, $x=y-1$:

   $x\approx 0.0221841\qquad\text{или}\qquad x\approx -2.1184421$