Решите неравенство (x − 1)(x − 3) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Пользуемся тем, что выражение уже разложено на множители. Произведение действительных чисел положительно тогда и только тогда, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Поэтому раскрывать скобки не требуется — достаточно определить, где каждый множитель меняет знак.

2. 2

   Находим критические точки. Приравниваем каждый множитель к нулю:

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   Эти значения разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty,1)$, $(1,3)$ и $(3,\infty)$.

3. 3

   Строим таблицу знаков. Подставим по одному значению из каждого промежутка и определим знак каждого множителя:

   промежуток	$x-1$	$x-3$	произведение
   $(-\infty,1)$, например $x=0$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$, например $x=2$	$+$	$-$	$-$
   $(3,\infty)$, например $x=4$	$+$	$+$	$+$

   Проверка: $(0-1)(0-3)=3$, $(2-1)(2-3)=-1$, $(4-1)(4-3)=3$, что подтверждает последний столбец.

4. 4

   Выбираем подходящие промежутки. Требуется, чтобы произведение было больше нуля, поэтому берём те промежутки, где стоит знак $+$:

   $x<1\quad\text{или}\quad x>3$

5. 5

   Рассматриваем граничные точки. Неравенство строгое ($>0$, а не $\ge 0$), а при $x=1$ и $x=3$ произведение равно нулю. Значит, корни не входят в ответ, интервалы открытые:

   $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   Проверяем графически. Если раскрыть скобки, получится $y=x^{2}-4x+3$ — парабола ветвями вверх с вершиной при $x=2$, $y=-1$. Такая парабола выше оси вне своих корней — что совпадает с полученным ответом.