Решите уравнение 25x² + 10x = 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим уравнение к стандартному виду. Вычтем $6$ из обеих частей:

   $25x^2+10x-6=0$

   отсюда $a=25$, $b=10$, $c=-6$.

2. 2

   Вычисляем дискриминант.

   $\Delta=b^2-4ac=100-4(25)(-6)=100+600=700$

   Он положителен, но не является точным квадратом ($26^2=676$, $27^2=729$), поэтому ждём два иррациональных корня и отсутствие разложения в целых числах.

3. 3

   Применяем формулу корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{-10\pm\sqrt{700}}{50}$

4. 4

   Упрощаем сначала радикал, затем дробь. Выносим наибольший точный квадрат из $700=100\cdot 7$:

   $\sqrt{700}=10\sqrt7\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-10\pm 10\sqrt7}{50}=\frac{-1\pm\sqrt7}{5}$

   Каждое слагаемое числителя и знаменатель имеют общий множитель $10$, поэтому сокращение законно.

5. 5

   Проверяем численно. $\sqrt7\approx 2.6458$, откуда $x\approx 0.3292$ или $x\approx-0.7292$. Тогда $25(0.3292)^2+10(0.3292)\approx 2.709+3.292\approx 6.00$ $\checkmark$.