Найдите все корни уравнения x⁴ − 16 = 0 — как вещественные, так и комплексные.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем разность квадратов. Оба слагаемых оказываются точными квадратами, если посмотреть на них под нужным углом:

   $x^{4}=(x^{2})^{2},\qquad 16=4^{2},$

   поэтому применима формула $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ при $a=x^{2}$ и $b=4$:

   $x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).$

   Разложение на множители удобнее, чем прямое извлечение корня четвёртой степени: оно показывает все корни, включая комплексные.

2. 2

   Раскладываем дальше там, где это возможно. Первая скобка — снова разность квадратов:

   $x^{2}-4=(x-2)(x+2),$

   а $x^{2}+4$ — это сумма квадратов, которая над вещественными числами не раскладывается. Значит, полное вещественное разложение таково:

   $x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).$

3. 3

   Применяем к линейным множителям условие равенства произведения нулю. Произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель:

   $x-2=0\Rightarrow x=2,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2.$

   Это единственные вещественные корни — чего и следовало ожидать, ведь уравнение $x^{4}=16$ имеет ровно два вещественных решения $\pm\sqrt[4]{16}=\pm 2$.

4. 4

   Разбираемся с оставшимся квадратным множителем над комплексными числами. Из $x^{2}+4=0$ получаем $x^{2}=-4$: вещественных решений нет, но есть два мнимых:

   $x=\pm 2i.$

   Значит, над $\mathbb{C}$ полное разложение равно $(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$, и многочлен степени $4$ имеет ровно $4$ корня — как и требует основная теорема алгебры.

5. 5

   Проверяем каждый корень. $2^{4}=16$ ✓ и $(-2)^{4}=16$ ✓. Для мнимой пары: $(2i)^{4}=2^{4}i^{4}=16\cdot 1=16$ ✓, и точно так же $(-2i)^{4}=16$ ✓. Все четыре корня лежат на окружности радиуса $2$ на комплексной плоскости и расположены равномерно, через $90^{\circ}$ — это стандартная картина для корней четвёртой степени из положительного вещественного числа.