Решите уравнение (x + 1)² + (x - 1)² = (x + 1)² + (1 - x)².

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала ищем совпадающие слагаемые. Замечаем, что выражение $(x+1)^2$ встречается по обе стороны уравнения, поэтому его можно сразу сократить. Остаётся проверить, верно ли $(x-1)^2=(1-x)^2$.

2. 2

   Используем свойство квадратов противоположных выражений. Заметим, что $1-x=-(x-1)$, а при возведении в квадрат знак исчезает: $(1-x)^2=\left(-(x-1)\right)^2=(-1)^2(x-1)^2=(x-1)^2$. Значит, оставшиеся слагаемые равны при любом $x$.

3. 3

   Проверим, раскрыв скобки. $(x-1)^2=x^2-2x+1$, а $(1-x)^2=1-2x+x^2$; по членам это одни и те же выражения, что подтверждает предыдущий вывод.

4. 4

   Делаем вывод: уравнение — тождество. После сокращения уравнение принимает вид $0=0$ — это верное равенство без переменных. Такой результат означает, что уравнение тождественно, то есть выполняется при любом значении переменной.

5. 5

   Записываем множество решений. Так как ограничений на $x$ нет — нет ни знаменателей, ни корней — решением будет множество всех действительных чисел: $x\in\mathbb{R}$.

6. 6

   Проверяем на примерах. При $x=3$ обе части равны $16+4=20$; при $x=-7$ обе части дают $36+64=100$. Совпадение значений при произвольных $x$ подтверждает, что уравнение является тождеством, а не имеет отдельные корни.