Найдите действительные корни уравнения (3x − 5)² − 8(3x − 5) + 16 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем повторяющееся выражение. Двучлен $3x-5$ встречается в квадрате и в первой степени, поэтому замена переменной сводит уравнение к обычному квадратному.

2. 2

   Полагаем u = 3x − 5. Уравнение превращается в $u^2-8u+16=0$. Заметим, что $16=4^2$, а $8=2\cdot 4$ — это в точности вид полного квадрата.

3. 3

   Сворачиваем в квадрат разности. Так как $u^2-8u+16=(u-4)^2$, уравнение $(u-4)^2=0$ даёт $u=4$. Множитель повторяется, значит перед нами двукратный корень, а не два различных значения.

4. 4

   Возвращаемся к x. Из $3x-5=4$ получаем $3x=9$, то есть $x=3$. Решение единственное, и его кратность равна двум.

5. 5

   Проверяем подстановкой. При $x=3$ имеем $3x-5=4$, поэтому $4^2-8(4)+16=16-32+16=0$. Левая часть в точности равна нулю, что подтверждает единственный двукратный корень.