Решить систему (2/3)x − (3/4)y = 1/2 и 4(x − y) − 3(2x + y) = 17.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавляемся от дробей в первом уравнении. Знаменатели $3$, $4$ и $2$ имеют НОК $12$, поэтому умножаем на $12$ каждое слагаемое, включая правую часть:

   $12\left(\tfrac23x\right)-12\left(\tfrac34y\right)=12\left(\tfrac12\right)\quad\Longrightarrow\quad 8x-9y=6$

2. 2

   Раскрываем скобки во втором уравнении. Раскрываем обе скобки, следя за знаком перед $-3$:

   $4x-4y-6x-3y=17\quad\Longrightarrow\quad -2x-7y=17$

   Умножение на $-1$ даёт более опрятную запись

   $2x+7y=-17$

3. 3

   Исключаем x. Умножим второе уравнение на $4$, чтобы в обоих стояло $8x$:

   $8x+28y=-68$

   и вычтем первое уравнение $8x-9y=6$:

   $(8x+28y)-(8x-9y)=-68-6\quad\Longrightarrow\quad 37y=-74$

4. 4

   Находим y и подставляем обратно.

   $y=-2$

   $2x+7(-2)=-17\quad\Longrightarrow\quad 2x-14=-17\quad\Longrightarrow\quad 2x=-3\quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac32$

   $\boxed{x=-\tfrac32,\quad y=-2}$

5. 5

   Проверяем в обоих исходных уравнениях. Первое: $\tfrac23\left(-\tfrac32\right)-\tfrac34(-2)=-1+\tfrac32=\tfrac12$ ✓. Второе: $4\left(-\tfrac32+2\right)-3\left(-3-2\right)=4\left(\tfrac12\right)+15=2+15=17$ ✓. Проверка именно по исходным уравнениям, а не по преобразованным, заодно подтверждает, что умножение на $12$ и раскрытие скобок выполнены верно.