Решите уравнение x/(x + 5) − 25/(x² + 25) = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала отметим область определения. Знаменатель $x^{2}+25$ не обращается в ноль ни при каком действительном $x$, поэтому единственное исключённое значение — это $x=-5$ из первой дроби. Любой корень-кандидат, равный $-5$, пришлось бы отбросить.

2. 2

   Перенесём одну дробь и умножим крест-накрест. Уравнение утверждает, что две дроби равны:

   $\frac{x}{x+5}=\frac{25}{x^{2}+25}\quad\Longrightarrow\quad x\left(x^{2}+25\right)=25(x+5)$

3. 3

   Раскроем скобки — и проследим, как сокращаются средние члены.

   $x^{3}+25x=25x+125\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=125$

   Слагаемые $25x$ в обеих частях уничтожаются полностью, и именно это превращает на вид неудобное кубическое уравнение в простое извлечение корня.

4. 4

   Извлечём действительный кубический корень.

   $x=\sqrt[3]{125}=5$

   Над действительными числами это единственное решение: разложение $x^{3}-125=(x-5)\left(x^{2}+5x+25\right)$ даёт квадратный множитель с дискриминантом $25-100=-75<0$, поэтому два оставшихся корня комплексные.

5. 5

   Сверим с исходным уравнением и с областью определения. Так как $x=5\neq -5$, значение допустимо, и

   $\frac{5}{10}-\frac{25}{50}=0.5-0.5=0\ \checkmark$

   $\boxed{x=5}$

6. 6

   Обратим внимание на частую ошибку прочтения. Если бы во втором знаменателе стояло $x^{2}-25$ вместо $x^{2}+25$, задача оказалась бы совсем другой: $x^{2}-25$ раскладывается как $(x+5)(x-5)$ и добавляет второе исключённое значение $x=5$, которое пришлось бы отбросить. Прежде чем избавляться от дробей, всегда проверяем знак внутри знаменателя.