Решить 43681x⁶ − 22932.5x⁵ + 3931.3x⁴ − 221.1x³ + 1.945×10⁻⁷ = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Поясним, почему нельзя просто отбросить свободный член. Без него уравнение раскладывается как $x^3(43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1)=0$, и $x=0$ становится тройным корнем. Малый свободный член $1.945\times10^{-7}$ превращает этот тройной корень в три близко расположенных корня около нуля, то есть определяет поведение уравнения при малых $x$ и должен обязательно учитываться.

2. 2

   Находим три больших корня из кубического сомножителя. Для $x$, удалённых от нуля, свободный член мал и можно искать корни уравнения

   $43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1=0$

   Анализируя смену знака: $f(0.14)<0$, $f(0.15)>0$, $f(0.16)<0$, $f(0.23)>0$. Делением отрезков пополам для полного шестистепенного уравнения получаем

   $x=0.14670508,\qquad x=0.15345189,\qquad x=0.22484227$

   Первые два корня отличаются всего на $0.0067$, поэтому при грубом шаге численного метода один из них может быть пропущен.

3. 3

   Разрешаем три малых корня около нуля. Для $|x|\ll 1$ в уравнении доминируют $-221.1x^3+1.945\times10^{-7}$, отсюда $x^3\approx 8.797\times10^{-10}$, то есть $|x|\approx 9.6\times10^{-4}$. Уточнение по методу Ньютона для полного многочлена даёт вещественное значение

   $x=0.000963677$

   Оставшиеся два корня — комплексно-сопряжённые кубические корни: $x\approx-0.00048175\pm0.00082509\,i$.

4. 4

   Проверяем количество корней. Многочлен шестой степени имеет ровно шесть корней с учётом кратности. Получено четыре вещественных ($0.000963677$, $0.14670508$, $0.15345189$, $0.22484227$) и одна пара комплексно-сопряжённых — всего шесть, значит, ничего не пропущено.

5. 5

   Проверяем каждый вещественный корень по невязке. Подставляя найденные значения, получаем невязки $2.6\times10^{-23}$, $1.2\times10^{-16}$, $5.2\times10^{-18}$ и $3.4\times10^{-16}$ — все равны нулю с точностью машины ✓. Для сравнения, часто приводимые значения $0.0887304343$ и $0.2575361876$ дают невязки $-0.0156$ и $+0.2814$, то есть не являются корнями данного уравнения.