Вычислите определитель матрицы 3×3 со строками (9,2,2), (28,8,8) и (18,5,4).

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим общий множитель во второй строке. Каждый элемент строки $(28,8,8)$ делится на $4$. Умножение строки на $k$ умножает определитель на $k$, поэтому

   $\det=4\begin{vmatrix}9&2&2\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   Так арифметика остаётся мелкой — важная привычка, когда элементы становятся крупными.

2. 2

   Упростим дальше преобразованием строк. Вычитание строки $2$ из строки $1$ (эта операция определитель не меняет) даёт

   $4\begin{vmatrix}2&0&0\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   поскольку у обеих строк второй и третий элементы равны $2,2$.

3. 3

   Разложим по новой первой строке. Ненулевой в ней только элемент $2$ на позиции $(1,1)$, знак его алгебраического дополнения — плюс:

   $4\cdot 2\begin{vmatrix}2&2\\5&4\end{vmatrix}=8(8-10)=8(-2)=-16$

   $\boxed{-16}$

4. 4

   Проверим прямым разложением по строке в исходной матрице.

   $9(8\cdot 4-8\cdot 5)-2(28\cdot 4-8\cdot 18)+2(28\cdot 5-8\cdot 18)$

   $=9(32-40)-2(112-144)+2(140-144)=-72+64-8=-16$

   Оба пути дают одно и то же.

5. 5

   Сравним с соседней задачей. Изменение только средней строки с $(27,7,7)$ на $(28,8,8)$ переводит определитель из $-9$ в $-16$. Определители крайне чувствительны к малым изменениям элементов — именно поэтому в задачниках часто встречаются такие почти одинаковые матрицы: каждую приходится считать заново.