Запишите область определения f(x) = (2x + 1)/(x⁴ − 5x² + 4) в интервальной форме.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим единственное ограничение. Числитель — многочлен, определён при всех $x$; функция не определена только там, где знаменатель равен нулю. Значит, требуется решить уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

2. 2

   Решим биквадратное уравнение с помощью замены. В уравнении присутствуют только чётные степени, поэтому введём $u = x^2$:

   $u^2 - 5u + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (u-1)(u-4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = 1 \text{ или } u = 4$

3. 3

   Вернёмся к переменной x. Каждое положительное значение $u$ даёт по два действительных значения $x$:

   $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1, \qquad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2$

   Всего исключается четыре точки — максимум для знаменателя четвёртой степени.

4. 4

   Исключим найденные значения и запишем интервалы. На числовой прямой исключённые значения — это $-2, -1, 1, 2$, они разбивают $\mathbb{R}$ на пять промежутков:

   $(-\infty,-2) \cup (-2,-1) \cup (-1,1) \cup (1,2) \cup (2,\infty)$

5. 5

   Проверим по одной точке в каждом интервале. При $x = -3$ знаменатель равен $81 - 45 + 4 = 40 \ne 0$. При $x = -1{,}5$: $5{,}0625 - 11{,}25 + 4 = -2{,}1875$. При $x = 0$: $4$. При $x = 1{,}5$: $-2{,}1875$. При $x = 3$: $40$. Ни в одной из точек знаменатель не обращается в ноль, значит, все пять интервалов полностью входят в область определения.