Упростите выражение (9 + 2i)(9 − 2i). Запишите ответ в виде комплексного числа.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что множители — комплексно сопряжённые. Данные два множителя отличаются только знаком при мнимой части, то есть являются сопряжёнными: $z = 9 + 2i$, $\bar z = 9 - 2i$. Такой вид важно узнавать, так как результат всегда будет действительным числом, и существует удобное сокращение.

2. 2

   Используем формулу разности квадратов. По формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 9$, $b = 2i$:

   $(9+2i)(9-2i) = 9^2 - (2i)^2 = 81 - 4i^2$

3. 3

   Подставим $i^2 = -1$. Именно на этом шаге происходит смена знака; если его пропустить, получится неверный ответ $77$:

   $81 - 4(-1) = 81 + 4 = 85$

4. 4

   Проверим раскрытием скобок по членам. Раскроем произведение по формуле (FOIL) без сокращения:

   $81 - 18i + 18i - 4i^2 = 81 + 0i + 4 = 85$

   Средние члены $-18i$ и $+18i$ взаимно уничтожаются — именно это свойство всегда делает произведение сопряжённых действительным.

5. 5

   Запишем ответ в виде комплексного числа. $85 = 85 + 0i$: мнимая часть равна нулю. В общем случае $z\bar z = |z|^2$, а здесь $|z|^2 = 9^2 + 2^2 = 81 + 4 = 85$ — это третье независимое подтверждение.