Связь y·p^x = q нелинейна. Приведите её к линейному виду Y = mX + c и укажите Y, X, m и c.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, какое преобразование требуется для уравнения. Неизвестная $x$ находится в показателе степени, поэтому простыми преобразованиями по $x$ и $y$ график не выпрямить. Единственный способ «опустить» переменную из показателя — воспользоваться логарифмом. Именно в этом и заключается вся стратегия.

2. 2

   Сначала выразим $y$. Разделим обе части уравнения на $p^{x}$:

   $y=\frac{q}{p^{x}}=q\,p^{-x}$

3. 3

   Возьмём логарифмы обеих частей. Основание логарифма можно выбрать любое, главное — использовать его последовательно:

   $\log y=\log\!\left(q\,p^{-x}\right)$

4. 4

   Разобьём логарифм произведения и раскроем показатель. Применяя свойства $\log(AB)=\log A+\log B$ и $\log(p^{-x})=-x\log p$:

   $\log y=\log q-x\log p$

5. 5

   Сопоставим с видом $Y=mX+c$. Запишем, выделяя члены так, чтобы $x$ стоял первым:

   $\underbrace{\log y}_{Y}=\underbrace{(-\log p)}_{m}\underbrace{x}_{X}+\underbrace{\log q}_{c}$

   Значит, строить нужно график зависимости $\log y$ именно от $x$ — не от $\log x$, что часто путают.

6. 6

   Проверим, как читается график. Угловой коэффициент равен $-\log p$, значит, $p=10^{-m}$ (для десятичных логарифмов); свободный член — $\log q$, значит, $q=10^{c}$. Проверим на числах: $p=2$, $q=5$, $x=3$: $y=5/8=0.625$, $\log_{10}0.625=-0.2041$, а $-3\log_{10}2+\log_{10}5=-0.9031+0.6990=-0.2041$ — совпадает.