Решить 0,2 × 0,2 × x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0 для действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Упростим коэффициент и избавимся от десятичных дробей. Так как $0.2\times 0.2=0.04$, получаем $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4=0$. Умножим обе части на $25$, чтобы получить целые коэффициенты:

   $x^{6}+25x^{4}+25x^{2}-100=0$

2. 2

   Выполним замену, чтобы понизить степень. В уравнении присутствуют только чётные степени $x$, поэтому введём $y=x^{2}$ (тогда $x^{6}=y^{3}$, $x^{4}=y^{2}$):

   $y^{3}+25y^{2}+25y-100=0$

   Важно: $y=x^{2}\ge 0$, значит, только неотрицательные корни $y$ дадут действительные $x$.

3. 3

   Проверим рациональные корни. По теореме о рациональных корнях возможные значения — делители $100$: $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$. Подстановка каждого значения даёт ненулевой результат, значит, кубическое уравнение не раскладывается на рациональные множители и корень нужно искать численно.

4. 4

   Ограничим положительный корень. Обозначим $g(y)=y^{3}+25y^{2}+25y-100$. Тогда

   $g(1)=1+25+25-100=-49<0,\qquad g(2)=8+100+50-100=58>0$

   По теореме о промежуточном значении корень лежит в интервале $(1,2)$. Так как $g'(y)=3y^{2}+50y+25>0$ при $y>0$, функция $g$ строго возрастает на этом промежутке, и этот корень — единственный неотрицательный.

5. 5

   Уточним значение методом Ньютона. Итерации по формуле $y\leftarrow y-\dfrac{g(y)}{g'(y)}$ начиная с $y_{0}=1.5$ сходятся к

   $y\approx 1.526734392725$

   (Остальные два корня кубического, $y\approx -2.75539$ и $y\approx -23.77135$, отрицательны и не дают действительных $x$.)

6. 6

   Вернёмся к переменной $x$ и проверим. Из $x^{2}=y$ получаем

   $x=\pm\sqrt{1.526734392725}\approx\pm 1.235610939060$

   Подстановка $x=1.235610939060$ в $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4$ даёт $0$ с машинной точностью. Уравнение чётное, поэтому оба корня симметричны относительно нуля.