Решите 4,08x² − 652,8x + 10236 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим коэффициенты и выберем метод решения. Здесь $a=4.08$, $b=-652.8$, $c=10236$. Десятичные коэффициенты не позволяют разложить на множители подбором, поэтому воспользуемся формулой:

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 2

   Вычислим дискриминант по частям. Все значения — точные десятичные дроби, поэтому округлять пока не требуется:

   $b^{2}=652.8^{2}=426147.84,\qquad 4ac=4(4.08)(10236)=16.32\times 10236=167051.52$

   $b^{2}-4ac=426147.84-167051.52=259096.32$

   Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных действительных корня.

3. 3

   Извлечём корень из дискриминанта.

   $\sqrt{259096.32}=509.0150489\ldots$

   Это близко к $509$, но не равно ему — если округлить до $509$, оба корня сместятся уже в третьем знаке после запятой, поэтому оставим дополнительные знаки.

4. 4

   Подставим значения в формулу. Поскольку $2a=8.16$, а $-b=652.8$:

   $x=\frac{652.8\pm 509.0150489}{8.16}$

   $x_{1}=\frac{1161.8150489}{8.16}\approx 142.37930,\qquad x_{2}=\frac{143.7849511}{8.16}\approx 17.62070$

5. 5

   Восстановим точную форму, избавившись от десятичных дробей. Умножая исходное уравнение на $25$ и деля на $6$, получаем целое уравнение $17x^{2}-2720x+42650=0$, дискриминант которого $4498200=2^{3}3^{3}5^{2}7^{2}\cdot 17$, значит $\sqrt{4498200}=210\sqrt{102}$ и

   $x=\frac{1360\pm 105\sqrt{102}}{17}$

6. 6

   Проверим по формулам Виета. Сумма корней должна быть $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{652.8}{4.08}=160$, и действительно $142.37930+17.62070=160.00000$. Произведение корней — $\dfrac{c}{a}=\dfrac{10236}{4.08}=\dfrac{42650}{17}=2508.8235$, а $142.37930\times 17.62070=2508.8235\ \checkmark$