Арифметическая прогрессия удовлетворяет условиям u3 + u5 − u6 = 6 и u8 + u4 = 52. Найти S = u2 + u4 + u6 + … + u2020.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем каждое условие через $u_1$ и $d$. Используя $u_k=u_1+(k-1)d$: $u_3+u_5-u_6=(u_1+2d)+(u_1+4d)-(u_1+5d)=u_1+d=6$ $u_8+u_4=(u_1+7d)+(u_1+3d)=2u_1+10d=52\ \Longrightarrow\ u_1+5d=26$

2. 2

   Решим систему из двух уравнений. Вычитая первое из второго, получаем $4d=20$, поэтому $d=5,\qquad u_1=6-5=1$

3. 3

   Опишем подпоследовательность членов с чётными номерами. Имеем $u_{2k}=1+(2k-1)\cdot 5=10k-4$, и это сама по себе арифметическая прогрессия с первым членом $u_2=6$ и разностью $10$.

4. 4

   Сосчитаем её члены. Номера пробегают значения $2,4,\dots,2020$, то есть $k$ меняется от $1$ до $1010$, поэтому членов ровно $1010$, а последний равен $u_{2020}=10(1010)-4=10096$.

5. 5

   Применим формулу суммы арифметической прогрессии. $S=\frac{1010}{2}\left(u_2+u_{2020}\right)=505\,(6+10096)=505\cdot 10102=5101510$

6. 6

   Подтвердим прямым суммированием. Сложение всех $1010$ членов на Python также даёт $5101510$, поэтому верный ответ — B.