Выполнить умножение (8y⁴ − 3y² + 3y³ − 8x²y − 5y + 3 − 8x) на 7y².

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем распределительное умножение и пересчитаем слагаемые. По распределительному закону каждое из семи слагаемых в скобках умножается на $7y^2$, значит, в ответе будет семь слагаемых. Сначала считаем их — это простой способ не потерять ни одного, что часто бывает при длинных скобках.

2. 2

   Вспомним два правила для каждого произведения. Коэффициенты перемножаются, а показатели степени по $y$ складываются: $y^m\cdot y^2=y^{m+2}$. Если в слагаемом нет $y$, как в $3$ или $-8x$, оно просто получает множитель $y^2$. Знак у каждого слагаемого сохраняется.

3. 3

   Умножим слагаемые, содержащие только $y$.

   $8y^4\cdot 7y^2=56y^{6},\qquad 3y^3\cdot 7y^2=21y^{5},\qquad -3y^2\cdot 7y^2=-21y^{4},\qquad -5y\cdot 7y^2=-35y^{3}$

4. 4

   Умножим слагаемые с $x$ и свободный член. Множители $x$ не меняются, так как в $7y^2$ нет $x$:

   $-8x^2y\cdot 7y^2=-56x^2y^{3},\qquad -8x\cdot 7y^2=-56xy^{2},\qquad 3\cdot 7y^2=21y^{2}$

5. 5

   Соберём семь произведений по убыванию степеней $y$.

   $56y^6+21y^5-21y^4-56x^2y^3-35y^3+21y^2-56xy^2$

   Обратите внимание: $-56x^2y^3$ и $-35y^3$ — это не подобные слагаемые (в первом есть $x^2$), так же как $21y^2$ и $-56xy^2$, поэтому ничего не сокращается.

6. 6

   Проверим подстановкой чисел. При $x=1, y=1$ выражение в скобках даёт $8-3+3-8-5+3-8=-10$, значит, произведение должно быть $-10\cdot 7=-70$. Складываем ответ: $56+21-21-56-35+21-56=-70$. Всё верно.