Разделить x³ − x² − 4 на x − 2 по схеме Горнера. Обратите внимание: слагаемое с x отсутствует.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем пропуск в многочлене. Если выписать все степени подряд, делимое имеет вид

   $x^3-x^2+0\cdot x-4$

   поэтому строка коэффициентов должна быть $1,\;-1,\;0,\;-4$ — четыре числа для кубического многочлена. Пропустить $0$ и записать только $1,-1,-4$ значит сдвинуть все последующие столбцы; это классический источник ошибки в такой задаче.

2. 2

   Берём $c=2$ из делителя. Поскольку $x-2=x-(2)$, в угол таблицы ставим $c=2$. Теорема Безу заранее подсказывает, каким обязан быть последний столбец:

   $f(2)=8-4-4=0$

   значит деление должно пройти без остатка.

3. 3

   Умножаем и складываем вдоль дополненной строки.

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -1 & 0 & -4\\ & & 2 & 2 & 4\\ \hline & 1 & 1 & 2 & 0\end{array}$

   Подробно: $1\cdot 2=2$ и $-1+2=1$; $1\cdot 2=2$ и $0+2=2$ (этот столбец существует только благодаря нулю-заполнителю); $2\cdot 2=4$ и $-4+4=0$.

4. 4

   Считываем результат. Нижняя строка даёт квадратное частное и нулевой остаток:

   $\text{частное}=x^2+x+2,\qquad \text{остаток}=0$

   значит $x-2$ — множитель, а $x=2$ — корень кубического многочлена.

5. 5

   Проверяем разложение и находим остальные корни. Раскрывая скобки обратно,

   $(x-2)(x^2+x+2)=x^3+x^2+2x-2x^2-2x-4=x^3-x^2-4\;\checkmark$

   У частного $x^2+x+2$ дискриминант равен $1-8=-7<0$, поэтому над действительными числами оно не раскладывается. Значит, $x=2$ — единственный действительный корень, а два других образуют комплексную пару $x=\tfrac{-1\pm i\sqrt7}{2}$.