Упростите выражение (a в квадрате b плюс a b в квадрате) умножить на (a в квадрате минус a b плюс b в квадрате) минус a b в четвёртой степени.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала присмотримся к структуре, а не будем раскрывать скобки. Прямое раскрытие даёт шесть произведений, и ошибиться в них легко. Вторая скобка $a^2-ab+b^2$ — характерный второй множитель формулы суммы кубов, поэтому план такой: сделать так, чтобы первая скобка приняла вид $a+b$, умноженного на что-то.

2. 2

   Выносим $ab$ из первой скобки. У обоих слагаемых есть общий множитель $ab$:

   $a^2b+ab^2 = ab(a+b)$

   Выражение принимает вид

   $ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab^4$

3. 3

   Применяем формулу суммы кубов. Так как

   $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

   произведение трёх скобок превращается в одно простое произведение:

   $ab(a^3+b^3)-ab^4$

4. 4

   Раскрываем скобку, умножая на $ab$.

   $ab \cdot a^3 + ab \cdot b^3 - ab^4 = a^4b + ab^4 - ab^4$

5. 5

   Уничтожаем противоположные слагаемые. Сумма $ab^4$ и $-ab^4$ равна нулю, поэтому остаётся

   $a^4b$

   То, что громоздкая часть с $b^4$ сократилась, и есть признак: путь через сумму кубов был задуман автором задачи.

6. 6

   Проверяем на числах. Возьмём $a=2$, $b=3$: исходное выражение равно $(12+18)(4-6+9)-2\cdot81=30\cdot7-162=210-162=48$, и $a^4b=16\cdot3=48$. Совпало.