Неравенство m − x² ≤ 1 − x имеет положительное решение. Какие значения может принимать m?

Step-by-step solution

1. 1

   Выражаем параметр, а не переменную. Раз вопрос про $m$, решаем неравенство относительно $m$:

   $m-x^{2}\le 1-x\ \Longleftrightarrow\ m\le x^{2}-x+1$

   Теперь условие читается так: существует $x>0$, для которого $m\le f(x)$, где $f(x)=x^{2}-x+1$.

2. 2

   Переводим «существует» в условие на множество значений. Значение $m$ годится тогда и только тогда, когда $m$ не превосходит какое-нибудь значение $f$ при $x>0$, то есть когда

   $m\le \sup_{x>0}f(x)$

   Этот шаг и решает всю задачу; именно здесь нельзя путать «имеет решение» (квантор существования) с «выполняется при всех $x>0$» (квантор всеобщности). Для второго варианта потребовалось бы $m\le\min_{x>0}f(x)$.

3. 3

   Исследуем $f$ на положительной полуоси. Выделяя полный квадрат,

   $f(x)=x^{2}-x+1=\left(x-\frac12\right)^{2}+\frac34$

   видим, что минимум $f$ равен $\tfrac34$ и достигается при $x=\tfrac12$ (эта точка лежит в области $x>0$), а $f(x)\to+\infty$ при $x\to+\infty$. Значит, множество значений $f$ при $x>0$ — это $\left[\tfrac34,+\infty\right)$, сверху не ограниченное.

4. 4

   Применяем полученный критерий. Так как $\sup_{x>0}f(x)=+\infty$, условие $m\le f(x)$ выполнимо всегда: каким бы ни было $m$, достаточно взять настолько большой $x$, чтобы $x^{2}-x+1\ge m$.

   $m\in\mathbb{R}$

5. 5

   Предъявляем конкретный пример решения. Для любого $m$ возьмём $x=\max(1,m)$. Тогда $f(x)=x^{2}-x+1=x(x-1)+1\ge 1$, а при $x\ge 1$ ещё и $f(x)\ge x\ge m$, так что этот $x$ и есть положительное решение. Например, при $m=100$ подходит $x=100$, ведь $100^{2}-100+1=9901\ge 100$.

6. 6

   Сравниваем с версией «при всех x». Если бы в условии говорилось, что неравенство выполняется для каждого $x>0$, ответом было бы $m\le\tfrac34$ — минимум, а не супремум. Правильное прочтение квантора и составляет всю трудность этой задачи.