Разложить на множители: 6x(x−y)² + 3(y−x)(y−x)².

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём второе слагаемое к одной степени. Произведение $(y-x)(y-x)^2$ — это $(y-x)^3$:

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3$

   Запись в виде одной степени позволяет увидеть чётность показателя, что важно для следующего шага.

2. 2

   Приведём оба бинома к одинаковому виду с помощью правила знака. Так как $y-x = -(x-y)$, то при нечётной степени появляется минус, а при чётной — нет:

   $(y-x)^3 = \left[-(x-y)\right]^3 = -(x-y)^3, \qquad (y-x)^2 = (x-y)^2$

   Именно на этом шаге чаще всего допускаются ошибки со знаком: только нечётные степени меняют знак.

3. 3

   Перепишем всё выражение через $(x-y)$.

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3 = 6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$

   Теперь оба слагаемых содержат одинаковый биномиальный множитель, и можно вынести общий множитель.

4. 4

   Вынесем наибольший общий множитель. Числовой НОК для $6$ и $3$ — это $3$, а минимальная степень бинома — $(x-y)^2$:

   $6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3 = 3(x-y)^2\Big[2x - (x-y)\Big]$

5. 5

   Упростим скобку.

   $2x - (x - y) = 2x - x + y = x + y$

   $\Longrightarrow \quad 6x(x-y)^2 + 3(y-x)(y-x)^2 = 3(x-y)^2(x+y)$

6. 6

   Проверим на частных значениях. При $(x,y) = (3,5)$ исходное выражение даёт $6(3)(4) + 3(2)(4) = 72 + 24 = 96$, а разложение — $3(4)(8) = 96$. То же совпадение наблюдается при $(-2, 7)$ и $\left(\tfrac12, \tfrac13\right)$ (в точном дробном виде). Ни $(x-y)^2$, ни $x+y$ далее не раскладываются, разложение завершено.