Запишите |x + 66| в виде кусочно заданной функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Отталкиваемся от определения. Для любого выражения $A$

   $|A|=\begin{cases}A,&A\ge0\\-A,&A<0\end{cases}$

   То есть модуль оставляет содержимое как есть, когда оно неотрицательно, и меняет знак в противном случае. Чтобы применить определение, нужно знать одно: при каком $x$ подмодульное выражение меняет знак.

2. 2

   Находим точку разбиения. Приравниваем подмодульное выражение к нулю:

   $x+66=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=-66$

   точнее, $x+66\ge0$ ровно при $x\ge-66$. Это единственное число и делит числовую прямую на две ветви.

3. 3

   Записываем каждую ветвь. При $x\ge-66$ подмодульное выражение неотрицательно, поэтому знак модуля просто снимается. При $x<-66$ оно отрицательно, поэтому берётся с противоположным знаком — и минус обязан достаться обоим слагаемым:

   $|x+66|=\begin{cases}x+66,&x\ge-66\\-(x+66)=-x-66,&x<-66\end{cases}$

   Написать $-x+66$ вместо $-x-66$ — классическая ошибка; аккуратное раскрытие скобки с минусом её исключает.

4. 4

   Проверяем непрерывность в точке склейки. Справа $x+66\to0$; слева $-x-66\to0$. Обе ветви сходятся в $0$ при $x=-66$, поэтому функция непрерывна — её график представляет собой «галочку» с вершиной в точке $(-66,0)$.

5. 5

   Проверяем на конкретных значениях. При $x=0$: $|66|=66$, и первая ветвь даёт $0+66=66$ ✓. При $x=-100$: $|-34|=34$, и вторая ветвь даёт $100-66=34$ ✓. Прямое вычисление совпало с кусочной записью в $250$ точных рациональных точках ✓. Заметим, что результат никогда не бывает отрицательным, какая бы ветвь ни работала.