Решить относительно x: 8/(8.9 − x) = (71 − x · √((8.9 − x)² − 64)/(8.9 − x))/71.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала зафиксируем область допустимых значений. Нужно, чтобы $8.9-x\neq0$ и $(8.9-x)^2-64\ge0$, то есть $|8.9-x|\ge8$, что означает

   $x\le 0.9\qquad\text{или}\qquad x\ge 16.9$

   Каждый кандидат в корни обязан пройти эту проверку, а возведение в квадрат далее непременно породит корни, которые её не пройдут.

2. 2

   Избавимся от обоих знаменателей. Умножая на $71$, а затем на $8.9-x$:

   $568=71(8.9-x)-x\sqrt{(8.9-x)^2-64}$

   Поскольку $71(8.9)=631.9$, это преобразуется к виду

   $x\sqrt{(8.9-x)^2-64}=631.9-71x-568=63.9-71x$

3. 3

   Разложим подкоренное выражение по формуле разности квадратов. Именно этот шаг делает задачу решаемой:

   $(8.9-x)^2-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x)$

   и одновременно $63.9-71x=71(0.9-x)$. Один и тот же множитель $0.9-x$ стоит в обеих частях, поэтому уравнение принимает вид

   $x\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=71(0.9-x)$

4. 4

   Первое решение читается бесплатно. Если $0.9-x=0$, обе части обращаются в нуль, поэтому $x=0.9$ — точное решение. Проверка в исходном уравнении: слева $\tfrac{8}{8}=1$, а справа корень равен $0$, что даёт $\tfrac{71-0}{71}=1$ ✓.

5. 5

   Разберём оставшуюся ветвь. При $x<0.9$ имеем $0.9-x>0$, поэтому $\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=\sqrt{0.9-x}\,\sqrt{16.9-x}$ и один множитель $\sqrt{0.9-x}$ сокращается:

   $x\sqrt{16.9-x}=71\sqrt{0.9-x}\ \Longrightarrow\ x^{2}(16.9-x)=5041(0.9-x)$

   $\Longrightarrow\ x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0$

   (Ветвь $x\ge16.9$ невозможна: там левая часть $\ge0$, тогда как $71(0.9-x)<0$.)

6. 6

   Решим кубическое уравнение и отбросим посторонние корни. Его корни: $-63.5486$, $0.8974433$ и $79.5511$. Возведение в квадрат требовало $x>0$ и $x\le0.9$, поэтому первый и третий посторонние — подстановка их в исходное уравнение даёт $-1.78$ и $-2.23$ вместо $0$. Остаётся только

   $x=0.8974433$

   и это значение воспроизводит исходное уравнение с точностью до $10^{-8}$ ✓.

7. 7

   Запишем оба ответа. Полное множество решений: $x=0.9$ и $x\approx0.8974433$. Заметим, что произведение $(x-0.9)$ на кубический многочлен в точности воспроизводит многочлен четвёртой степени $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$, а значит, ни один корень не был потерян.