Разделить x³ − 2x² − 4x + 8 на x − 2 по схеме Горнера. Указать частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем значение $c$ из делителя. Схема Горнера работает только тогда, когда делитель записан в виде $x-c$, и в угол таблицы ставится корень этого делителя, а не то число, которое видно в выражении. Здесь $x-2=x-(2)$, поэтому

   $c=2$

   Частая ошибка — взять $-2$ из-за напечатанного в $x-2$ минуса. Вместо этого проверьте себя теоремой об остатке: остаток обязан равняться $f(c)$, а $f(2)=8-8-8+8=0$ — именно это и должна дать таблица.

2. 2

   Выпишем коэффициенты по убыванию степеней, подставляя нули вместо отсутствующих степеней. В многочлене $x^3-2x^2-4x+8$ присутствуют все степени от $x^3$ до $x^0$, поэтому дополнять нечем:

   $1,\;-2,\;-4,\;8$

   Именно на этом шаге чаще всего возникают ошибки. Если какая-то степень отсутствует, для неё всё равно надо оставить место с $0$, иначе каждое последующее «умножить и сложить» попадёт на столбец левее нужного.

3. 3

   Выполним цикл «умножить и сложить». Сносим старший коэффициент $1$ вниз, а затем раз за разом умножаем только что записанное число на $c=2$ и прибавляем к следующему коэффициенту:

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -2 & -4 & 8\\ & & 2 & 0 & -8\\ \hline & 1 & 0 & -4 & 0\end{array}$

   Подробно: $1\cdot 2=2$ и $-2+2=0$; далее $0\cdot 2=0$ и $-4+0=-4$; далее $-4\cdot 2=-8$ и $8+(-8)=0$.

4. 4

   Истолкуем нижнюю строку. Последнее число — это остаток, а всё, что стоит левее, — коэффициенты частного, степень которого на единицу меньше, поскольку делили на линейный множитель:

   $\text{частное}=1x^2+0x-4=x^2-4,\qquad \text{остаток}=0$

   Ноль в среднем столбце — не украшение: это коэффициент при $x$, и именно поэтому в частном нет линейного слагаемого.

5. 5

   Проверим обратным умножением. Нулевой остаток означает, что деление выполнено нацело, поэтому произведение делителя и частного обязано восстановить исходный многочлен:

   $(x-2)(x^2-4)=x^3-4x-2x^2+8=x^3-2x^2-4x+8\;\checkmark$

   Поскольку остаток обратился в нуль, вы заодно разложили многочлен на множители, а $x^2-4$ раскладывается дальше на $(x-2)(x+2)$, что даёт $x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)$ и корни $x=2$ (двукратный) и $x=-2$.