Решите неравенство x²−2x−3<0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разложим на множители. Необходимо найти такие два числа, произведение которых равно $-3$, а сумма — $-2$. Так как произведение отрицательное, числа имеют разные знаки; подходят $-3$ и $+1$:

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$

   Таким образом, неравенство принимает вид $(x-3)(x+1)<0$.

2. 2

   Найдём критические точки.

   $x-3=0\Rightarrow x=3,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   Эти значения разбивают числовую прямую на промежутки: $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$ и $(3,\infty)$; знак произведения не меняется внутри каждого из них.

3. 3

   Проверим знак на каждом промежутке. Подставим $x=-2$: $(-5)(-1)=5>0$. Подставим $x=0$: $(-3)(1)=-3<0$. Подставим $x=4$: $(1)(5)=5>0$. Получаем чередование: положительно, отрицательно, положительно — отрицательное значение только на среднем промежутке.

4. 4

   Поясним с точки зрения графика. Старший коэффициент равен $+1$, значит, парабола направлена вверх: она опускается ниже оси только между корнями и остаётся выше вне этого промежутка. Это полностью совпадает с проверкой по знаку и позволяет быстро получить ответ, зная корни.

5. 5

   Исключим граничные точки. Неравенство строгое, поэтому сами корни — точки, где выражение обращается в $0$ — не входят в решение:

   $-1<x<3,\qquad(-1,3)$

6. 6

   Проверим результат. Если вычислить $x^2-2x-3$ в $4001$ точке на отрезке $[-10,10]$ и сравнить знак с промежутком $(-1,3)$, совпадение будет полным ✓. Дополнительно: вершина параболы при $x=1$ (середина между корнями), значение $1-2-3=-4$ — это минимальное, самое отрицательное значение выражения.