Многочлен f(x) при делении на 2x²−3x+4 даёт остаток 2x+1. Какой остаток даст f(x)³ при делении на 2x²−3x+4? Варианты: 26x−47, 27x−48, 28x−49, 29x−50, 30x−51.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем, что означает данный остаток. Существует такой многочлен-частное $q(x)$, что

   $f(x)=q(x)\left(2x^{2}-3x+4\right)+(2x+1).$

   Для краткости обозначим $D(x)=2x^{2}-3x+4$.

2. 2

   Возведём в куб и отбросим кратные D. При раскрытии $\left[q D+(2x+1)\right]^{3}$ все слагаемые, кроме последнего, содержат множитель $D$, значит, при делении на $D$ они дадут остаток $0$:

   $\{f(x)\}^{3}\equiv (2x+1)^{3}\pmod{D(x)}.$

   Это ключевой шаг — не требуется знать ни $q(x)$, ни степень $f(x)$.

3. 3

   Раскроем куб.

   $(2x+1)^{3}=8x^{3}+12x^{2}+6x+1.$

4. 4

   Делим на D(x) — первый шаг. Старшие члены дают $\dfrac{8x^{3}}{2x^{2}}=4x$:

   $8x^{3}+12x^{2}+6x+1-4x\left(2x^{2}-3x+4\right)=24x^{2}-10x+1.$

5. 5

   Делим на D(x) — второй шаг. Теперь $\dfrac{24x^{2}}{2x^{2}}=12$:

   $24x^{2}-10x+1-12\left(2x^{2}-3x+4\right)=26x-47.$

   Степень остатка стала меньше $2$, деление на этом заканчивается.

6. 6

   Запишем и проверим ответ. Остаток равен $26x-47$, это вариант ①. Проверка: $(4x+12)\left(2x^{2}-3x+4\right)+26x-47=8x^{3}+12x^{2}+6x+1=(2x+1)^{3}$ ✓.