Решите уравнение x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0, укажите вещественные корни с точностью до семи знаков после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала исключим рациональные корни. По теореме о рациональных корнях любой рациональный корень делит $-18$, то есть возможные варианты — $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$. Подстановка каждого значения даёт ненулевой результат — например,

   $f(9) = 6561 - 7290 + 1458 - 360 - 18 = 351 \ne 0, \qquad f(-1) = 1 + 10 + 18 + 40 - 18 = 51 \ne 0$

   Значит, линейных множителей над $\mathbb{Q}$ нет. В частности, $x = 9$ — не корень, хотя $9 \mid 18$.

2. 2

   Проверим возможность разложения на два квадратных трёхчлена с целыми коэффициентами. Представим $f(x) = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$, тогда

   $a+c=-10, \quad ac+b+d=18, \quad ad+bc=-40, \quad bd=-18$

   Полный перебор всех целых делителей $-18$ для $(b,d)$ и всех целых $a$ не даёт решения. Следует быть внимательным: например, при $b=9, d=-2$ выполняются первые два условия, но $ac = 11$, $a,c = -5 \pm \sqrt{14}$ — не целые, а $ad+bc = -35 - 11\sqrt{14} \approx -76,2 \ne -40$. Проверять нужно все четыре условия, а не только часть.

3. 3

   Найдём интервалы вещественных корней с помощью таблицы знаков. Вычислим значения $f$ на сетке:

   $f(-1) = 51, \quad f(0) = -18, \quad f(8) = -210, \quad f(9) = 351$

   Знак меняется на интервалах $(-1, 0)$ и $(8, 9)$, значит, по теореме о промежуточном значении на каждом из них есть вещественный корень. Так как на всём отрезке $[0, 8]$ функция отрицательна, всего вещественных корней ровно два.

4. 4

   Уточним корни методом Ньютона. Производная $f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 36x - 40$, итерационная формула: $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$. Начнём с середины каждого найденного интервала:

   $x \approx 8.4610649, \qquad x \approx -0.3736462$

   При вычислениях с точностью до 40 знаков после запятой получено $|f(x)| < 10^{-36}$, значит, указанные цифры верны.

5. 5

   Оставшиеся два корня — комплексные. После деления на найденные вещественные корни остаётся квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом, дающий сопряжённые комплексные корни:

   $x \approx 0.9562906 \pm 2.1861170\,i$

   Таким образом, разложение на вещественные множители: $\left(x^2 - 8.0874187x - 3.1614449\right)\left(x^2 - 1.9125813x + 5.6935992\right)$ — рациональных коэффициентов нигде нет.

6. 6

   Проверим результат по теоремам Виета. Сумма четырёх корней должна быть $10$, произведение — $-18$:

   $8.4610649 - 0.3736462 + 2(0.9562906) = 9.9999999 \ \checkmark$

   $(8.4610649)(-0.3736462)\left(0.9562906^2 + 2.1861170^2\right) = -18.0000 \ \checkmark$

   Обе формулы выполняются, что независимо подтверждает вычисления по методу Ньютона.