Разложить x^105 + 1 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим чётность показателя степени. Сумма $x^{n}+1$ раскладывается на множители с $(x+1)$ в качестве сомножителя тогда и только тогда, когда $n$ — нечётное. Проверим это по теореме Безу: подставим $x=-1$ и получаем

   $(-1)^{105}+1=-1+1=0\ \checkmark$

   так как $105$ — нечётное. Значит, $x+1$ делит $x^{105}+1$ без остатка.

2. 2

   Применим формулу суммы нечётных степеней. Пусть $a=x$, $b=1$, $n=105$:

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   Каждая степень $b=1$ равна $1$, поэтому сомножитель превращается в чередующуюся сумму степеней $x$.

3. 3

   Запишем разложение на множители.

   $x^{105}+1=(x+1)\left(x^{104}-x^{103}+x^{102}-\cdots-x+1\right)$

   Сомножитель содержит $105$ слагаемых от степени $104$ до $0$, знаки чередуются. Так как $104$ — чётное, первый знак «+», и — при нечётном числе слагаемых — свободный член тоже «+1».

4. 4

   Проверим разложение численно. Подставляя $x=2,3,5,-2,-3$ и вычисляя обе части в целых числах, получаем равенство каждый раз ✓. Степени также совпадают: $1+104=105$ ✓.

5. 5

   Заметим, что это не полное разложение. Так как $105=3\times5\times7$, возможны дальнейшие разложения по делителям. Например, $x^{105}+1=\left(x^{35}\right)^{3}+1$ также раскладывается как $\left(x^{35}+1\right)\left(x^{70}-x^{35}+1\right)$. При полном разложении над $\mathbb{Q}$, $x^{105}+1$ разбивается на циклотомические многочлены $\Phi_{d}(x)$ по делителям $d$ числа $210$, не делящим $105$ — форма с $(x+1)$ выше есть лишь первый, наиболее полезный шаг.