Упростите (m⁻² n⁻⁶ p⁵) / (m⁷ n⁴ p⁻³) и запишите ответ только с положительными показателями степени.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим каждое основание по отдельности. Для каждого из $m$, $n$ и $p$ применяется правило деления степеней: $\dfrac{a^{s}}{a^{t}}=a^{s-t}$. Нет необходимости сначала переводить отрицательные показатели в дроби — так чаще возникают ошибки со знаками.

2. 2

   Вычтем показатели степени для m.

   $\frac{m^{-2}}{m^{7}}=m^{-2-7}=m^{-9}.$

3. 3

   Вычтем показатели степени для n и p. В знаменателе у $p$ — отрицательный показатель, поэтому при вычитании $-3$ получится сложение:

   $\frac{n^{-6}}{n^{4}}=n^{-6-4}=n^{-10},\qquad \frac{p^{5}}{p^{-3}}=p^{5-(-3)}=p^{8}.$

4. 4

   Объединим полученные результаты.

   $m^{-9}n^{-10}p^{8}.$

5. 5

   Преобразуем к положительным показателям. Отрицательный показатель означает, что множитель нужно перенести в другую часть дроби, сменив знак показателя:

   $m^{-9}n^{-10}p^{8}=\frac{p^{8}}{m^{9}n^{10}}.$

6. 6

   Проверим подстановкой. При $m=n=p=2$ исходное выражение равно $\frac{2^{-2}\cdot 2^{-6}\cdot 2^{5}}{2^{7}\cdot 2^{4}\cdot 2^{-3}}=\frac{2^{-3}}{2^{8}}=2^{-11}$, а ответ — $\frac{2^{8}}{2^{9}\cdot 2^{10}}=2^{8-19}=2^{-11}$. Совпадает.