Решите уравнение: логарифм x по основанию 2 плюс логарифм x по основанию 3 равен 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим оба логарифма к одному основанию. Логарифмы с разными основаниями нельзя складывать напрямую, но формула перехода к новому основанию это исправляет:

   $\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2},\qquad \log_3 x=\frac{\ln x}{\ln 3}$

   (Подошло бы любое общее основание; натуральный логарифм просто короче записывается.)

2. 2

   Заменой $t=\ln x$ обнажаем линейное уравнение.

   $\frac{t}{\ln 2}+\frac{t}{\ln 3}=5$

   Неизвестное входит только через $t$ и только в первой степени: в такой записи уравнение линейное, а вовсе не логарифмическое.

3. 3

   Выносим $t$ за скобку и складываем дроби.

   $t\left(\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}\right)=5\quad\Rightarrow\quad t\cdot\frac{\ln 3+\ln 2}{\ln 2\,\ln 3}=5\quad\Rightarrow\quad t=\frac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 2+\ln 3}$

   Заметим, что $\ln 2+\ln 3=\ln 6$, поэтому равносильно $t=\dfrac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 6}$.

4. 4

   Вычисляем $t$. При $\ln 2=0.6931472$ и $\ln 3=1.0986123$:

   $\ln 2\,\ln 3=0.7615000,\qquad \ln 6=1.7917595,\qquad t=\frac{3.8075001}{1.7917595}=2.1250062$

5. 5

   Потенцируем и возвращаемся к $x$.

   $x=e^{t}=e^{2.1250062}=8.3729497$

   Здесь $x>1$ и оба логарифма положительны — всё согласуется; кроме того, значение обязано превышать $2^{5/2}\approx 5.66$, ведь столько потребовалось бы одному лишь $\log_2x$, будь $\log_3 x$ нулём.

6. 6

   Проверяем и отвергаем значение 6.06. $\log_2 8.3729497=3.0657$ и $\log_3 8.3729497=1.9343$, в сумме $5.0000$ ✓. Для сравнения, $x=6.06$ даёт $2.5993+1.6400=4.2393$ — почти на $0.76$ меньше $5$, поэтому решением не является.