Найдите и упростите разностное отношение (f(x+h) − f(x))/h для f(x) = корень из (5x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Выпишем отношение. Поскольку $f(x+h) = \sqrt{5(x+h)+1} = \sqrt{5x+5h+1}$,

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h}$

   Пока ничего не сокращается: $h$ спрятан под корнем, и вынести его из числителя напрямую нельзя.

2. 2

   Умножим на сопряжённое к числителю. Это стандартный приём для разности квадратных корней:

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

   Умножение на такую единицу ничего не меняет, но переносит радикалы в знаменатель.

3. 3

   Применим (A − B)(A + B) = A² − B² к числителю. Корни исчезают:

   $\left(5x+5h+1\right) - \left(5x+1\right) = 5h$

4. 4

   Сократим h.

   $\frac{5h}{h\left(\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}\right)} = \frac{5}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

5. 5

   Проверим численно и перейдём к пределу. При $x = 1.3$, $h = 0.07$ прямое отношение равно $0.9024623$, а формула даёт $\tfrac{5}{\sqrt{7.85}+\sqrt{7.5}} = 0.9024623$. При $h \to 0$ оба радикала превращаются в $\sqrt{5x+1}$, и получается $\tfrac{5}{2\sqrt{5x+1}}$ — производная функции $\sqrt{5x+1}$.