Решить уравнение −4x² + 20x − 24 = 0 разложением на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разбираемся с отрицательным старшим коэффициентом. Раскладывать $-4x^2+20x-24$ напрямую — значит одновременно управляться и с отрицательным $a$, и с общим множителем. Все три коэффициента делятся на $-4$, поэтому вынесем его:

   $-4x^2+20x-24=-4\left(x^2-5x+6\right)$

   При делении каждого слагаемого на $-4$ все знаки меняются: $-4x^2\div(-4)=x^2$, $20x\div(-4)=-5x$, $-24\div(-4)=6$.

2. 2

   Раскладываем приведённый трёхчлен внутри скобки. Два числа с произведением $6$ и суммой $-5$ — это $-2$ и $-3$:

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   Значит уравнение принимает вид $-4(x-2)(x-3)=0$.

3. 3

   Делим на ненулевую константу. В отличие от деления на переменную, деление на $-4$ совершенно безопасно: $-4$ не может обратиться в нуль, поэтому ни один корень не теряется:

   $(x-2)(x-3)=0$

4. 4

   Пользуемся свойством произведения, равного нулю.

   $x-2=0\ \text{или}\ x-3=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{или}\ x=3$

5. 5

   Проверяем в исходном уравнении, не забывая про минус.

   $-4(2)^2+20(2)-24=-16+40-24=0\quad\checkmark$

   $-4(3)^2+20(3)-24=-36+60-24=0\quad\checkmark$