Решить уравнение (1 + x) в десятой степени минус 10,7347x равно 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим всё в одну часть и замечаем очевидный корень. Обозначим

   $f(x)=(1+x)^{10}-10.7347x-1$

   Тогда $f(0)=1-0-1=0$, то есть $x=0$ — точное решение, и никакие численные методы для него не нужны. У уравнений такого вида (множитель роста в степени числа периодов минус линейная выплата) тривиальный корень есть всегда, а интересен именно второй переход через ноль.

2. 2

   Дифференцируем, чтобы понять форму графика.

   $f'(x)=10(1+x)^9-10.7347,\qquad f''(x)=90(1+x)^8>0\ \ (x>-1)$

   Поскольку $f''>0$, функция $f$ строго выпукла на $(-1,\infty)$, а значит пересекает ноль не более двух раз. Кроме того, $f'(0)=10-10.7347=-0.7347<0$: проходя через начало координат, кривая ещё убывает.

3. 3

   Находим единственный минимум. Решаем $f'(x)=0$:

   $(1+x)^9=1.07347\quad\Rightarrow\quad x=1.07347^{1/9}-1=0.0079085$

   Значение в этой точке $f(0.0079085)=-0.0029357$ — действительно ниже нуля. (Часто встречающаяся для этого минимума величина $-0.000291$ занижена на порядок.)

4. 4

   Считаем число корней. На промежутке $(-1,\,0.0079085)$ функция убывает от $f(-1^{+})=9.7347$ до $-0.0029357$ — ровно одно пересечение, и это $x=0$. На $(0.0079085,\infty)$ она возрастает от $-0.0029357$ до $+\infty$ — ещё ровно одно. Итого вещественных корней ровно два, отрицательных нет ($f(-0.01)=+0.0117$ подтверждает знак слева от $0$).

5. 5

   Отделяем и уточняем второй корень. $f(0.015)=-0.00048$, а $f(0.016)=+0.00027$, значит корень лежит между ними. Деление отрезка пополам или метод Ньютона дают

   $x=0.01565489$

   с точностью до восьми знаков после запятой — а вовсе не $0.015845$, где $f=+1.5\times 10^{-4}$, то есть значение ещё явно положительно.

6. 6

   Проверяем прямой подстановкой. $(1.0156549)^{10}=1.16805066$, а $1+10.7347(0.0156549)=1.16805066$. Оба числа совпадают до восьмого знака, поэтому множество решений: $x=0$ и $x\approx 0.0156549$.