Решите 6 / a = a / x относительно x, где a = (–1 + √71) / 2. Оставьте ответ в виде радикала.

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим радикал и отложим подстановку. Удобнее оставить $a=\dfrac{-1+\sqrt{71}}{2}$ как отдельную переменную — это позволит выполнить алгебраические преобразования один раз, а не считать трижды, и возводить в квадрат только одно выражение в конце.

2. 2

   Перемножим пропорцию крест-накрест. Из $\dfrac{6}{a}=\dfrac{a}{x}$ (при $a,x\neq 0$) получаем:

   $6x=a^2\ \Longrightarrow\ x=\frac{a^2}{6}$

   Это и есть связь среднего пропорционального: $a$ — среднее геометрическое для $6$ и $x$.

3. 3

   Возведём радикал в квадрат по формуле $(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$. Возводим числитель и знаменатель в квадрат по отдельности:

   $a^2=\frac{\left(-1+\sqrt{71}\right)^2}{4}=\frac{1-2\sqrt{71}+71}{4}=\frac{72-2\sqrt{71}}{4}$

   Обращаем внимание: $\left(\sqrt{71}\right)^2=71$ — это убирает один радикал; смешанный член $-2\sqrt{71}$ остаётся.

4. 4

   Сократим дробь перед следующим делением. Вынесем 2 за скобки в числителе:

   $a^2=\frac{2\left(36-\sqrt{71}\right)}{4}=\frac{36-\sqrt{71}}{2}$

5. 5

   Делим на 6 для получения ответа.

   $x=\frac{a^2}{6}=\frac{36-\sqrt{71}}{2\cdot 6}=\frac{36-\sqrt{71}}{12}$

   Ответ оставляем именно так: если подставить $\sqrt{71}\approx 8{,}426$, получится $x\approx 2{,}298$, но это уже не точное значение.

6. 6

   Проверим численно. При $\sqrt{71}=8{,}42615$: $a=3{,}71307$, $x=2{,}29782$. Тогда $6/a=1{,}61591$ и $a/x=1{,}61591$ — обе части равны, значит, радикальный ответ верен.