Выполнить умножение и упростить: (x² - 14x + 48)/(x² - 3x - 18) × (x² - 9)/(x² - 64).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскладываем все выражения на множители. Если раскрыть скобки в числителях и знаменателях, получится выражение четвёртой степени, и все возможности для сокращения будут скрыты. Каждый из четырёх квадратных трёхчленов разлагается на множители над целыми числами, поэтому именно разложение — основной шаг.

2. 2

   Разложим все четыре квадратных трёхчлена на множители.

   $x^2-14x+48 = (x-6)(x-8), \qquad x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$

   $x^2-9 = (x-3)(x+3), \qquad x^2-64 = (x-8)(x+8)$

   Последние два выражения — это разности квадратов; первые два требуют подобрать пары чисел с произведением $48$ и $-18$ и суммой $-14$ и $-3$ соответственно.

3. 3

   Запишем произведение как одну дробь.

   $\frac{(x-6)(x-8)\,(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+3)\,(x-8)(x+8)}$

4. 4

   Сократим одинаковые множители, но не отдельные слагаемые. В числителе и знаменателе встречаются три одинаковых множителя: $(x-6)$, $(x-8)$ и $(x+3)$. После сокращения остаётся

   $\frac{x-3}{x+8}$

   Важно помнить: нельзя сокращать отдельные $x$ или $3$ в $\dfrac{x-3}{x+8}$ — сокращать можно только одинаковые множители произведения, а не части суммы.

5. 5

   Укажем значения, при которых выражение не определено. Сокращение скрывает ограничения, которые были у исходного выражения: область определения исключает $x = 6$, $x = -3$, $x = 8$ и $x = -8$. Упрощённая форма равна исходной только там, где исходное выражение определено.

6. 6

   Проверим результат на контрольном значении. Подставим $x = 1$. Исходное выражение: $\dfrac{1-14+48}{1-3-18} \cdot \dfrac{1-9}{1-64} = \dfrac{35}{-20} \cdot \dfrac{-8}{-63} = -\dfrac{2}{9}$. Упрощённое: $\dfrac{1-3}{1+8} = -\dfrac{2}{9}$ — совпадает.