Решите уравнение 32log₃(x − 5) = 49 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   До решения выписываем область определения. Аргумент логарифма обязан быть строго положительным, поэтому

   $x-5>0\qquad\Longrightarrow\qquad x>5$

   Любой кандидат в ответы обязан пройти этот отбор; именно потому, что ограничение записано заранее, финальная проверка становится осмысленной, а не формальной.

2. 2

   Выделяем логарифм. Делим обе части на коэффициент $32$:

   $\log_3(x-5)=\frac{49}{32}$

   Если оставить справа точную дробь $\tfrac{49}{32}=1.53125$, ответ останется точным.

3. 3

   Переходим к показательной форме. Определение логарифма даёт равносильность

   $\log_b(A)=c\iff A=b^{\,c}$

   Здесь $b=3$, $A=x-5$, $c=\tfrac{49}{32}$, поэтому

   $x-5=3^{49/32}$

4. 4

   Находим x. Прибавляем $5$:

   $x=5+3^{49/32}$

   Это точный ответ; дальше упрощать нечего, так как $\tfrac{49}{32}$ не целое, а числа $49$ и $32$ не имеют общих множителей с $3$.

5. 5

   Считаем численно и проверяем область определения. Поскольку $3^{49/32}=3^{1.53125}=5.37764$,

   $x=5+5.37764=10.37764$

   Прикидка по величине: $3^{1.5}=\sqrt{27}\approx5.196$, а $3^{1.53125}$ должно быть чуть больше — так и есть ✓. И $x\approx10.378>5$, значит логарифм определён и решение годится.

6. 6

   Проверяем подстановкой. При $x=10.3776424$: $x-5=5.3776424$, и $\log_3(5.3776424)=\dfrac{\ln 5.3776424}{\ln 3}=1.531250$, откуда $32\times1.53125=49.0000$ ✓.