Разложить на множители выражение 75a⁶ − 147b¹⁶ полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Всегда сначала выносится наибольший общий делитель. Как записано, ни $75a^6$, ни $147b^{16}$ не являются полными квадратами, поэтому признак разности квадратов пока не применим. Разложим коэффициенты на множители:

   $75=3\cdot 25,\qquad 147=3\cdot 49$

   Переменные не имеют общих букв — $a^6$ и $b^{16}$ не содержат общих множителей, — значит, НОД только число $3$:

   $75a^6-147b^{16}=3\left(25a^6-49b^{16}\right)$

2. 2

   Проверим, являются ли слагаемые в скобках полными квадратами. Именно для этого и выносился НОД. Одночлен — полный квадрат, если его коэффициент — квадрат, а показатели степеней — чётные:

   $25a^6=(5a^3)^2\qquad\text{так как } 5^2=25 \text{ и } (a^3)^2=a^6$

   $49b^{16}=(7b^8)^2\qquad\text{так как } 7^2=49 \text{ и } (b^8)^2=b^{16}$

   Вся суть — в делении показателя степени пополам: $6/2=3$ и $16/2=8$.

3. 3

   Применим формулу разности квадратов. Пусть $u=5a^3$, $v=7b^8$,

   $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$

   получаем:

   $25a^6-49b^{16}=(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

4. 4

   Восстановим вынесенный НОД. Не забываем про $3$ — это самая частая ошибка в подобных задачах:

   $75a^6-147b^{16}=3(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

5. 5

   Проверим, что дальше разложить нельзя, и сделаем обратную проверку. Сумма квадратов $5a^3+7b^8$ не раскладывается на множители над вещественными числами, а $5a^3-7b^8$ — не разность квадратов, так как $5$ и $7$ не являются полными квадратами, а показатель $3$ нечётный. Для уверенности раскроем скобки:

   $3\left[(5a^3)^2-(7b^8)^2\right]=3\left(25a^6-49b^{16}\right)=75a^6-147b^{16}$

   что совпадает с исходным выражением.