Рационализируйте знаменатель дроби (2√2 − √3)/(√3 + √2).

Step-by-step solution

1. 1

   Определим сопряжённое знаменателя. Для знаменателя вида $\sqrt a+\sqrt b$ сопряжённым будет $\sqrt a-\sqrt b$, так как их произведение — рациональное число $a-b$. В данном случае сопряжённое к $\sqrt3+\sqrt2$ — это $\sqrt3-\sqrt2$.

2. 2

   Домножим числитель и знаменатель на это сопряжённое.

   $\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$

3. 3

   Упростим знаменатель — это самая простая часть.

   $\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=3-2=1$

   Знаменатель равен $1$, значит, ответом будет только раскрытый числитель.

4. 4

   Раскроем скобки в числителе.

   $\left(2\sqrt2-\sqrt3\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=2\sqrt6-2\cdot 2-3+\sqrt6=2\sqrt6-4-3+\sqrt6$

   Используются равенства $\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6$, $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ и $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.

5. 5

   Приведём подобные слагаемые.

   $3\sqrt6-7$

   $\boxed{3\sqrt6-7}$

6. 6

   Проверим вычисления численно. $\sqrt2=1{,}41421$, $\sqrt3=1{,}73205$, исходное выражение: $\dfrac{2{,}82843-1{,}73205}{1{,}73205+1{,}41421}=\dfrac{1{,}09637}{3{,}14626}=0{,}34846$, а $3\sqrt6-7=3(2{,}44949)-7=7{,}34847-7=0{,}34847$ — совпадает.