Решите неравенство |2x − 1| ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведите $|A|\le b$ в одну цепочку. Модуль измеряет расстояние до $0$, поэтому требование «не больше $3$» запирает $2x-1$ в замкнутую полосу между $-3$ и $3$:

   $-3\le2x-1\le3$

   Так как отношение — не больше (а не не меньше), в ответе получается один ограниченный промежуток, а не два луча: направление неравенства и определяет форму ответа.

2. 2

   Прибавьте 1 ко всем трём частям. Прибавление одного и того же числа всюду сохраняет оба направления:

   $-3+1\le2x\le3+1\qquad\Longrightarrow\qquad-2\le2x\le4$

3. 3

   Разделите все три части на 2. Делитель положителен, поэтому знаки не переворачиваются:

   $-1\le x\le2$

4. 4

   Запишите ответ отрезком.

   $[-1,2]$

   Оба конца включены, потому что исходное неравенство допускало равенство, — квадратные скобки как раз это и фиксируют.

5. 5

   Проверьте концы и точку снаружи. При $x=-1$: $|2(-1)-1|=|-3|=3\le3$ ✓. При $x=2$: $|4-1|=3\le3$ ✓. В центре $x=\tfrac12$: $|0|=0$ ✓. Чуть правее, при $x=3$, получаем $|5|=5$ ✗. Сравнение исходного неравенства с $[-1,2]$ в $90$ точных рациональных точках совпадает всюду ✓. Заметьте, что промежуток симметричен относительно $x=\tfrac12$, где $2x-1=0$, и имеет радиус $\tfrac32$.