Представьте x² – 8xy + 16y² в виде полного квадрата по формуле.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем подходящую формулу. Трёхчлен с двумя квадратами по краям и одним средним членом — кандидат на разложение по формуле

   $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

   Проверка этой формулы обычно быстрее, чем подбор множителей, но важно убедиться, что средний член точно совпадает с $-2ab$, а не только наличие двух квадратов.

2. 2

   Определим $a$ и $b$ по крайним членам. Первый член — уже квадрат: $x^2$, значит $a=x$. Последний член — $16y^2=(4y)^2$, значит $b=4y$. Обратите внимание: $b$ — это именно $4y$, а не просто $y$, коэффициент входит в $b$ полностью, иначе проверка не сработает.

3. 3

   Проверим средний член. При $a=x$ и $b=4y$ получаем:

   $-2ab=-2\cdot x\cdot 4y=-8xy$

   Это в точности совпадает с данным средним членом. Значит, все три члена соответствуют формуле полного квадрата. Если бы средний член был, например, $-4xy$, выражение не было бы полным квадратом и потребовался бы другой способ разложения.

4. 4

   Запишем полный квадрат разности. Знак внутри скобки совпадает со знаком среднего члена, поэтому при $-8xy$ получаем минус:

   $x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2$

5. 5

   Проверим раскрытием скобок. $(x-4y)^2=x^2-2(x)(4y)+16y^2=x^2-8xy+16y^2$. Можно проверить и численно: при $x=5,\,y=1$ исходное выражение даёт $25-40+16=1$, а $(5-4)^2=1$. Всё совпадает, значит $(x-4y)^2$ — это ответ.