Решите x³ + 12x² + 48x + 72 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем узнать формулу куба суммы. Коэффициенты $1,12,48$ соответствуют разложению $(x+b)^{3}=x^{3}+3bx^{2}+3b^{2}x+b^{3}$, где $3b=12$, значит $b=4$; далее $3b^{2}=48$ — всё совпадает. Не совпадает только свободный член:

   $(x+4)^{3}=x^{3}+12x^{2}+48x+64,$

   а в нашем уравнении стоит $72$. В этом и заключается идея — данное кубическое выражение почти полный куб, но отличается на константу.

2. 2

   Перепишем как сдвинутый куб. Так как $72=64+8$,

   $x^{3}+12x^{2}+48x+72=(x+4)^{3}+8,$

   то уравнение принимает вид

   $(x+4)^{3}+8=0\;\Longrightarrow\;(x+4)^{3}=-8.$

   Такое преобразование сразу сводит кубическое уравнение к простому.

3. 3

   Извлекаем действительный кубический корень. В отличие от квадратного корня, кубический корень из отрицательного числа — это вполне допустимое действительное число, и оно единственно:

   $x+4=\sqrt[3]{-8}=-2.$

   Здесь нет $\pm$ — функция $t\mapsto t^{3}$ строго возрастает, значит, обратима на $\text{R}$.

4. 4

   Вычислим $x$. Вычтем $4$:

   $x=-2-4=-6.$

   Это единственный действительный корень; остальные два — комплексные, что видно из разложения $(x+4)^{3}+2^{3}=(x+6)\left((x+4)^{2}-2(x+4)+4\right)$ по формуле суммы кубов, где квадратный множитель $x^{2}+6x+12$ имеет дискриминант $36-48=-12<0$.

5. 5

   Проверим подстановкой. При $x=-6$:

   $(-6)^{3}+12(36)+48(-6)+72=-216+432-288+72=0 \;✓.$

   Можно проверить и структурно: $(-6+4)^{3}+8=(-2)^{3}+8=-8+8=0$ ✓.