Выполнить деление (9 − a²)/(a² − 8a + 15) на (2a² − 10a)/(a² − 10a + 25) и упростить.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим все квадратные трёхчлены, обращая внимание на обратную разность квадратов. Числитель $9-a^{2}$ — это $a^{2}-9$ с противоположным знаком, поэтому важно вынести минус:

   $9-a^{2}=-(a-3)(a+3)$

   $a^{2}-8a+15=(a-3)(a-5),\qquad 2a^{2}-10a=2a(a-5),\qquad a^{2}-10a+25=(a-5)^{2}$

2. 2

   Заменим деление умножением на обратную дробь.

   $\frac{-(a-3)(a+3)}{(a-3)(a-5)}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

3. 3

   Сократим первую пару множителей. $(a-3)$ сокращается, остаётся

   $\frac{-(a+3)}{a-5}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

4. 4

   Сократим множители (a−5). В числителе их два, в знаменателе тоже два, поэтому сокращаются полностью:

   $\frac{-(a+3)}{2a}$

   $\boxed{-\dfrac{a+3}{2a}}\qquad(a\neq 0,3,5)$

5. 5

   Проверим результат подстановкой. При $a=1$ исходное выражение: $\dfrac{8}{8}\div\dfrac{-8}{16}=1\div\left(-\tfrac12\right)=-2$, а ответ даёт $-\tfrac{4}{2}=-2$ — совпадает. Если бы минус из $9-a^{2}$ не вынесли, получилось бы $+2$, так что проверка подстановкой сразу выявляет ошибку.