Решите уравнение: логарифм по основанию 3 от (2x² + 13x + 23), делённый на логарифм по основанию 3 от (x + 5), равен 1. Найдите сумму его корней.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выпишем область допустимых значений — знаменатель прячет в себе сразу два условия. Оба аргумента логарифмов должны быть положительны, а знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $x+5>0,\qquad \log_3(x+5)\neq 0\ \Rightarrow\ x+5\neq 1,\qquad 2x^2+13x+23>0.$

   Первые два условия дают $x>-5$ и $x\neq -4$.

2. 2

   Проверим квадратный аргумент отдельно — оказывается, он ничего не ограничивает. Его дискриминант равен

   $D=13^2-4\cdot 2\cdot 23=169-184=-15<0,$

   а старший коэффициент положителен, поэтому $2x^2+13x+23>0$ при любом действительном $x$. Это условие ничего не добавляет, и область допустимых значений — просто $x>-5$, $x\neq-4$.

3. 3

   Узнаём в частном логарифмов формулу перехода к новому основанию. Так как $\dfrac{\log_3 A}{\log_3 B}=\log_B A$, уравнение принимает вид

   $\log_{x+5}\left(2x^2+13x+23\right)=1.$

   Логарифм равен $1$ ровно тогда, когда аргумент совпадает с основанием, — поэтому логарифмы можно просто убрать, а не потенцировать дважды.

4. 4

   Решаем полученное квадратное уравнение. Приравняем аргумент к основанию:

   $2x^2+13x+23=x+5\ \Longrightarrow\ 2x^2+12x+18=0\ \Longrightarrow\ x^2+6x+9=0\ \Longrightarrow\ (x+3)^2=0,$

   так что $x=-3$ — кратный корень этого квадратного уравнения.

5. 5

   Проверим кандидата и сложим корни. Значение $x=-3$ удовлетворяет условиям $x>-5$ и $x\neq-4$, а подстановка даёт $\log_3 2/\log_3 2=1$, значит корень настоящий. Хотя в квадратном уравнении $x=-3$ встречается дважды, у исходного уравнения ровно один корень, поэтому сумма его корней равна

   $-3.$