Разложите x³ − 5x² + 3x + 2 на множители или покажите, что над рациональными числами это невозможно, и найдите его действительные корни.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем кандидатов в рациональные корни. По теореме о рациональных корнях несократимая дробь $\tfrac{p}{q}$ может быть корнем, только если $p$ делит свободный член $2$, а $q$ — старший коэффициент $1$. Значит, $q=\pm1$, и кандидатов всего четыре:

   $x=\pm1,\ \pm2$

2. 2

   Проверяем каждого кандидата.

   $f(1)=1-5+3+2=1,\qquad f(-1)=-1-5-3+2=-7$

   $f(2)=8-20+6+2=-4,\qquad f(-2)=-8-20-6+2=-32$

   Ни одно значение не равно нулю, поэтому рациональных корней нет, а значит нет и линейного множителя с рациональными коэффициентами. Кубический многочлен раскладывается над $\mathbb{Q}$ лишь при наличии рационального корня (в любом разложении обязана быть линейная часть), поэтому наш многочлен неразложим над $\mathbb{Q}$.

3. 3

   Не путаем неразложимость с отсутствием корней. У действительного кубического многочлена всегда есть хотя бы один действительный корень, ведь он непрерывно пробегает значения от $-\infty$ до $+\infty$. Фраза «не раскладывается над рациональными» ничего не говорит о действительных корнях — она лишь означает, что ни один из них не является дробью.

4. 4

   Считаем действительные корни по переменам знака. Вычислим значения в нескольких точках: $f(-1)=-7$, $f(0)=+2$, $f(1)=+1$, $f(2)=-4$, $f(5)=+17$. Знак меняется между $-1$ и $0$, между $1$ и $2$ и между $2$ и $5$ — три перемены знака, поэтому все три корня действительны и иррациональны.

5. 5

   Находим их численно. Метод деления пополам на мелкой сетке по отрезку $[-10,10]$ даёт

   $x_1\approx-0.3914,\qquad x_2\approx1.2271,\qquad x_3\approx4.1642$

   Значит, действительное разложение с точностью до четырёх знаков имеет вид $(x+0.3914)(x-1.2271)(x-4.1642)$ — вполне законное над $\mathbb{R}$, но не над $\mathbb{Q}$.

6. 6

   Проверяем по формулам Виета. Сумма корней должна равняться $-b/a=5$: $-0.3914+1.2271+4.1642=4.9999$ ✓, а их произведение — $-d/a=-2$: $(-0.3914)(1.2271)(4.1642)=-2.0000$ ✓. Оба соотношения выполняются с точностью сетки, что подтверждает: найдены все три действительных корня и ни один не пропущен.