Решите двойное неравенство 11 < 60(1 + x)/7 < 12.

Step-by-step solution

1. 1

   Перед началом внимательно читаем структуру неравенства. Дано трёхчастное неравенство: одна и та же величина $\frac{60(1+x)}{7}$ заключена между $11$ и $12$. Это означает, что рассматриваются сразу два неравенства, и каждое преобразование должно применяться ко всем трём частям одновременно.

2. 2

   Избавимся от знаменателя, домножив все части на 7. Домножение неравенства на положительное число не меняет направление знаков, а $7>0$, поэтому порядок сохраняется:

   $77<60(1+x)<84$

3. 3

   Разделим все части на 60. Поскольку $60>0$, направление неравенств сохраняется:

   $\frac{77}{60}<1+x<\frac{84}{60}=\frac{7}{5}$

   Сразу сокращаем $\tfrac{84}{60}$ до $\tfrac{7}{5}$ — так дальнейшие вычисления будут проще.

4. 4

   Вычтем 1 из всех частей, чтобы выразить x. Прибавление или вычитание числа не меняет направление неравенства:

   $\frac{77}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{7}{5}-\frac{5}{5}$

   $\frac{17}{60}<x<\frac{2}{5}$

5. 5

   Проверим граничные значения подстановкой. При $x=\tfrac{17}{60}$: $1+x=\tfrac{77}{60}$, тогда $\frac{60}{7}\cdot\frac{77}{60}=\frac{77}{7}=11$ — получаем ровно нижнюю границу. При $x=\tfrac{2}{5}$: $1+x=\tfrac{7}{5}$, тогда $\frac{60}{7}\cdot\frac{7}{5}=12$ — ровно верхняя граница. Так как неравенства строгие, сами границы не входят в решение, то есть ответ — открытый интервал $\left(\tfrac{17}{60},\tfrac{2}{5}\right)$.

6. 6

   Проверим решение на десятичном тестовом значении. $\tfrac{17}{60}\approx0{,}2833$, $\tfrac{2}{5}=0{,}4$. Подставим $x=0{,}35$ (внутри интервала): $\frac{60(1.35)}{7}=\frac{81}{7}\approx11{,}57$, что действительно между $11$ и $12$ ✓.