Решить неравенство −2x² + 8 ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим слагаемое с квадратом. Вычтем $8$ из обеих частей:

   $-2x^{2}\le-8$

2. 2

   Разделим на $-2$ и поменяем знак неравенства. Деление (как и умножение) неравенства на отрицательное число меняет его направление — это единственное правило, которое здесь всё и решает:

   $x^{2}\ge4$

   Если оставить $\le$, получится ровно неверный ответ $-2\le x\le2$, так что смена знака здесь не опция.

3. 3

   Решим $x^{2}\ge4$ как утверждение о расстоянии. Поскольку $x^{2}=|x|^{2}$, условие означает $|x|\ge2$: точка $x$ удалена от начала координат не менее чем на $2$. Это выполняется на двух лучах вне отрезка $[-2,2]$, а не между его концами:

   $x\le-2\qquad\text{или}\qquad x\ge2$

4. 4

   Запишем множество решений.

   $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$

   Оба конца включаются: при $x=\pm2$ имеем $-2(4)+8=0$, а $0\le0$ верно ✓.

5. 5

   Подтвердим графиком и подстановкой. График $y=-2x^{2}+8$ — парабола ветвями вниз с корнями $\pm2$ и вершиной $(0,8)$; она не выше нуля ровно вне корней. Проверка: при $x=0$ получаем $8\le0$ ✗ (значение исключено верно), при $x=3$ — $-18+8=-10\le0$ ✓, при $x=-3$ — $-10\le0$ ✓. Исходное неравенство и заявленное множество совпали в $51$ точной рациональной точке ✓.