Решите уравнение пятой степени 40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Исключаем рациональные корни. Кандидаты имеют вид $\pm\tfrac{d}{e}$, где $d \mid 10$ и $e \mid 40$. Выборочная проверка: $f(1) = -1$, $f(-1) = -81$, $f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac{129}{16} = 8.0625$, $f\!\left(-\tfrac12\right) = \tfrac{89}{16} = 5.5625$, $f\!\left(\tfrac54\right) = 7.5586$. Ни одно значение не обращается в нуль, а по теореме Абеля—Руффини общее уравнение пятой степени не решается в радикалах, поэтому корни приходится искать численно.

2. 2

   Локализуем вещественные корни по сменам знака. Составим таблицу значений $f(x) = 40x^5 - 51x^4 + 10$:

   $f(-1) = -81, \quad f(-0.7) = -8.968, \quad f(-0.5) = 5.563, \quad f(0) = 10, \quad f(0.9) = 0.159, \quad f(1) = -1, \quad f(1.1) = -0.249, \quad f(1.2) = 3.779$

   Каждая смена знака запирает корень: один на $(-0.7,\,-0.5)$, один на $(0.9,\,1)$ и один на $(1.1,\,1.2)$. Поскольку $f \to -\infty$ при $x \to -\infty$ и $f \to +\infty$ при $x \to +\infty$, этими тремя вещественные корни и исчерпываются.

3. 3

   Уточняем каждый промежуток. Деление пополам или метод Ньютона на каждом отрезке сходится к

   $x_1 \approx -0.603957, \qquad x_2 \approx 0.909281, \qquad x_3 \approx 1.110778$

4. 4

   Восстанавливаем оставшуюся пару сопряжённых корней. У уравнения пятой степени пять корней. После деления на три вещественных множителя остаётся квадратный трёхчлен с корнями

   $x \approx -0.070551 \pm 0.636284\,i$

5. 5

   Проверяем по связи корней с коэффициентами. Сумма всех пяти корней должна равняться $\tfrac{51}{40} = 1.275$: $-0.603957 + 0.909281 + 1.110778 + 2(-0.070551) = 1.275000$. Произведение должно равняться $-\tfrac{10}{40} = -0.25$ (степень равна 5, поэтому знак меняется): $(-0.603957)(0.909281)(1.110778)\left(0.070551^2 + 0.636284^2\right) = -0.250000$. Прямая подстановка даёт $|f(x_i)| < 10^{-4}$ для каждого вещественного корня.

6. 6

   Предостережение о широко растиражированных неверных значениях. Для этого уравнения иногда приводят тройку $-0.6487,\ 0.7606,\ 1.2264$, однако $f(-0.6487) = -3.63$, $f(0.7606) = 3.11$ и $f(1.2264) = 5.60$ — ни одно из этих чисел корнем не является.