В системе y = 2x² − 21x + 64 и y = 3x + a, где a — постоянная, графики пересекаются ровно в одной точке (x, y). Чему равно значение x?

Step-by-step solution

1. 1

   Превратим условие пересечения в одно уравнение. Точка лежит на обоих графиках тогда, когда оба выражения для $y$ совпадают, поэтому приравняем их:

   $2x^2-21x+64=3x+a$

   Каждой точке пересечения отвечает решение этого уравнения, и наоборот.

2. 2

   Перенесём всё в одну сторону. После приведения подобных получаем квадратное уравнение в стандартном виде:

   $2x^2-21x-3x+64-a=0$

   $2x^2-24x+(64-a)=0$

   Неизвестная постоянная $a$ входит только в свободный член — именно это наблюдение и делает решение коротким.

3. 3

   Переведём «ровно одна точка пересечения» в «ровно один корень». Квадратное уравнение имеет ровно одно действительное решение в точности тогда, когда его дискриминант обращается в нуль:

   $\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4(2)(64-a)=0$

   Геометрически это означает, что прямая касается параболы, а не пересекает её дважды и не проходит мимо.

4. 4

   Воспользуемся тем, что двойной корень лежит в вершине параболы. При $\Delta=0$ оба корня совпадают со своим средним значением $x=-\dfrac{b}{2a}$. Здесь $b=-24$, а старший коэффициент равен $2$, поэтому

   $x=\frac{24}{2\cdot 2}=6$

   Заметим, что $a$ вообще не участвовало в вычислении: оно лишь сдвигает свободный член и не двигает ось симметрии. Поэтому в задаче и можно спрашивать $x$, не сообщая значение $a$.

5. 5

   Найдём $a$, если хочется увидеть касание явно. Решаем $\Delta=0$:

   $576-8(64-a)=0\;\Longrightarrow\;576-512+8a=0\;\Longrightarrow\;a=-8$

   Квадратное уравнение принимает вид $2x^2-24x+72=2(x-6)^2=0$, что подтверждает кратный корень $x=6$.

6. 6

   Проверим единственную точку пересечения. При $x=6$ парабола даёт $2(36)-21(6)+64=72-126+64=10$, а прямая — $3(6)-8=10$. Обе линии проходят через точку $(6,10)$ и, поскольку дискриминант равен нулю, больше нигде не встречаются:

   $\boxed{x=6}$