Разложите 3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разложим часть второй степени. Любое разложение на два линейных множителя должно давать в старших частях произведение

   $3x^{2}-14xy+15y^{2}=(3x-5y)(x-3y)$

   (Проверим: $3x\cdot(-3y)+(-5y)\cdot x=-9xy-5xy=-14xy$. Верно.)

2. 2

   Введём неизвестные свободные члены. Разложение должно иметь вид

   $(3x-5y+p)(x-3y+q)$

   где $p, q$ — некоторые константы, причём $pq=4$.

3. 3

   Подберём коэффициент при $x$. При раскрытии скобок члены с $x$ дают $3qx+px$, то есть $3q+p=13$.

4. 4

   Подберём коэффициент при $y$. Члены с $y$ равны $-5yq-3py$, значит $-5q-3p=-23$, то есть $5q+3p=23$.

5. 5

   Решим полученную систему. Из $p=13-3q$ подставим в $5q+3p=23$: $5q+3(13-3q)=23$, получаем $5q+39-9q=23$, то есть $-4q=-16$, значит $q=4$, $p=1$. Оба значения подходят, так как $pq=4$. Получаем

   $\boxed{(3x-5y+1)(x-3y+4)}$

6. 6

   Проверим раскрытием скобок. $(3x-5y+1)(x-3y+4)=3x^2-9xy+12x-5xy+15y^2-20y+x-3y+4=3x^2-14xy+15y^2+13x-23y+4$. Всё верно.